\chapter{1952年李政道-杨振宁相变理论的数学推导}
	
	\section{引言}
	李政道和杨振宁于1952年提出了关于相变的新理论，这一工作为统计力学中的相变研究提供了新的数学框架。本文将详细推导李-杨相变理论的核心方程。
	
	\section{理论基础}
	考虑一个包含$N$个粒子的系统，其配分函数$Z_N$可表示为：
	\begin{equation}
		Z_N = \sum_{\text{所有微观状态}} e^{-\beta E}
	\end{equation}
	其中$\beta = 1/k_B T$，$k_B$为玻尔兹曼常数，$T$为温度。
	
	\section{巨配分函数的引入}
	李和杨引入了巨配分函数$\Xi$：
	\begin{equation}
		\Xi(z, V, T) = \sum_{N=0}^{\infty} z^N Z_N(V, T)
	\end{equation}
	其中$z = e^{\beta\mu}$为逸度，$\mu$为化学势。
	
	\section{李-杨零点定理}
	李和杨证明了巨配分函数的零点分布决定了系统的相变行为。将$\Xi$表示为：
	\begin{equation}
		\Xi(z) = e^{P(z)} \prod_{k} \left(1 - \frac{z}{z_k}\right)
	\end{equation}
	其中$z_k$是$\Xi(z)$的零点，$P(z)$是多项式。
	
	\section{热力学极限下的分析}
	在热力学极限$V \to \infty$下，零点分布形成连续曲线$C$。引入零点密度函数$\rho(z)$：
	\begin{equation}
		\frac{1}{V} \ln \Xi(z) = \int_C \ln\left(1 - \frac{z}{z'}\right) \rho(z') d z'
	\end{equation}
	
	\section{相变条件}
	当零点分布$C$在复平面上与正实轴相交时，系统出现相变。相交点$z_c$满足：
	\begin{equation}
		\rho(z_c) \neq 0
	\end{equation}
	此时系统在$z = z_c$处发生一级相变。
	
	\section{临界现象}
	对于二级相变，零点在正实轴上聚集的密度满足：
	\begin{equation}
		\rho(z) \sim |z - z_c|^\sigma \quad \text{当} \quad z \to z_c
	\end{equation}
	临界指数$\sigma$决定了相变的性质。
	
	\section{结论}
	李-杨理论通过分析配分函数零点的分布，为理解相变提供了深刻的数学见解。这一方法超越了传统的平均场理论，能够处理更广泛的相变问题。
	
	\chapter{杨振宁 (1952)二维伊辛模型磁化强度临界指数的推导}
		
		\begin{abstract}
			本文基于昂萨格(Onsager)二维伊辛模型的严格解，推导了在临界温度$T_c$附近磁化强度$M$的渐近行为。通过分析自由能的奇异部分，得到磁化强度的临界指数$\beta=1/8$，与实验观测结果一致。
		\end{abstract}
		
		\section{引言}
		在铁磁相变研究中，临界指数描述热力学量在临界点附近的行为。1952年，杨振宁首次从昂萨格解出发，严格推导了二维伊辛模型的磁化强度临界指数。
		
		\section{模型与方法}
		考虑二维正方形格点伊辛模型，哈密顿量为：
		\begin{equation}
			H = -J \sum_{\langle ij\rangle} S_i S_j \quad (S_i = \pm 1)
		\end{equation}
		昂萨格(1944)给出配分函数的严格解，自由能密度$f(T)$可表示为：
		\begin{equation}
			f(T) = -k_B T \lim_{N\to\infty} \frac{1}{N} \ln Z_N
		\end{equation}
		
		\section{临界行为分析}
		在$T < T_c$时，自发磁化强度$M(T)$由自由能对磁场$h$的导数确定：
		\begin{equation}
			M(T) = -\left. \frac{\partial f}{\partial h} \right|_{h\to 0^+}
		\end{equation}
		
		通过昂萨格解的对角化方法，自由能可表示为：
		\begin{equation}
			f(T) = -k_B T \left[ \ln 2 + \frac{1}{2} \int_0^{2\pi} \frac{d\theta}{2\pi} \int_0^{2\pi} \frac{d\phi}{2\pi} \ln D(\theta,\phi) \right]
		\end{equation}
		其中$D(\theta,\phi)$为：
		\begin{equation}
			D(\theta,\phi) = \cosh 2K \cosh 2L - \sinh 2K \cos \theta - \sinh 2L \cos \phi
		\end{equation}
		$K=J/k_B T$, $L$为外场耦合常数。
		
		\section{临界指数推导}
		当$T \to T_c^-$，杨振宁通过展开发现：
		\begin{equation}
			M(T) \sim \left( T_c - T \right)^\beta
		\end{equation}
		具体推导步骤包括：
		
		1. 将自由能在临界点附近展开：
		\begin{equation}
			f(T) \approx f_{\text{reg}}(T) + (T_c - T)^{2-\alpha} \Phi\left( \frac{h}{(T_c - T)^\Delta} \right)
		\end{equation}
		
		2. 磁化强度对应序参量，其奇异部分满足：
		\begin{equation}
			M \sim \frac{\partial f}{\partial h} \bigg|_{h\to 0} \sim (T_c - T)^\beta
		\end{equation}
		
		3. 通过昂萨格解的渐近分析，得到：
		\begin{equation}
			\beta = \frac{1}{8}
		\end{equation}
		
		\section{结论}
		本文严格证明了二维伊辛模型的磁化强度临界指数$\beta=1/8$，这一结果成为统计物理中临界现象研究的重要里程碑。
		
	